Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết BD có phương trình 2x - 3y + 4 = 0

+ Ta chứng minh G,H, K thẳng hàng
Gọi E,F, là tâm của các hình chữ nhật ABCD MHCK.
Ta có G là trung điểm của BE nên MBAE là hình bình hành.
Vậy ME= AB=2HE do đó H là trung điểm EM. 
Khi đó GH và FH là đường trung bình của các tam giác \(\Delta\)MAE,MCE. 
Suy ra: GH // AC, HF //AC. Do đó G, H, K thẳng hàng

+ Ta có phương trình đường thẳng HK là: 2x + 3y - 38 = 0
Tọa độ G là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2x-3y+4=0\\ 2x+3y-38=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{17}{2}\\ y=7 \end{matrix}\right.\Rightarrow G\left ( \frac{17}{2};7 \right )\)
Do GH = GP = GB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
\(\left\{\begin{matrix} BD: 2x-3y+4=0\\ (G;GH): \left ( x-\frac{17}{2} \right )^2+(y-7)^2=\frac{13}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} B(7;6)\\ B(10;8) \end{matrix}\)
Vì đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn do đó B(10;8)
Mặt khác: \(\overrightarrow{BD}=4\overrightarrow{BG}\Rightarrow D(4;4)\)
Ta có phương trình đường thẳng DK là y= 4 do đó ta có đường thẳng BC là x = 10
Vậy tọa độ C là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{matrix} x=10\\ y=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(10;4)\)
Vì \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow A(4;8)\)