Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm và đường thẳng AB đi qua E(-1; 2)

- Kẻ đường thẳng đi qua E vuông góc BM tại H và cắt AC tại E' ⇒ H là trung điểm của EE'

Phương trình EH là x + y - 1 = 0

\(H=EH\cap BM\Rightarrow H(-\frac{1}{2};\frac{3}{2})\)

Vì H là trung điểm EE' ⇒ E' (0; 1)

- Giả sử \(B(b;b+2)\in BM(b<0)\Rightarrow \overrightarrow{BE}=(-1-b;-b);\overrightarrow{BE'}=(-b;-1-b)\)

Mà \(BE \perp BE'\Leftrightarrow \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BE'}=0\Leftrightarrow 2b(1+b)=0\)

\(\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} b=0\; (l)\\ b=-1\; (tm)\Rightarrow B(-1;1) \end{matrix}\)

- Phương trình cạnh AB là x = -1

Giả sử \(A(-1;a)\in AB(a\neq 1)\) và \(D(d;9-d)\in \Delta\)

Do M là trung điểm AB ⇒ \(M(\frac{d-1}{2};\frac{9+a-d}{2})\)

Mặt khác \(M\in BM\Leftrightarrow \frac{d-1}{2}-\frac{9+a-d}{2}+2=0\Leftrightarrow -a+2d-6=0\; (1)\)

- Ta có: \(\overrightarrow{AD}=(d+1;9-d-a);\overrightarrow{AB}=(0;1-a)\)

Mà \(AB \perp AD\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow -a-d+9=0\; (2)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\left\{\begin{matrix} a=4\Rightarrow A(-1;4)\\ d=5\Rightarrow D(5;4) \end{matrix}\right.\)

Do \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C(5;1)\)

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A(-1; 4); B(-1; 1); C(5; 1); D(5; 4)