Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành biết điểm \(G \left ( \frac{5}{3};2 \right )\) là trọng tâm tam giác ADC

Ta có \(\widehat{BAD} + \widehat{BHD} = 180^0 \Rightarrow \widehat{BHD} = 45^0\)

Gọi \(\overrightarrow{n} (a; b) \ (a^2 + b^2 \neq 0)\) là VTPT của đường thẳng HB

Do đường thẳng HB tạo với đường thẳng HD góc 45⁰ nên

\(\cos 45^0 = \frac{|a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{10}} \Leftrightarrow 2a^2 + 2ab - 2b^2 = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a = -2b\\ b = 2a \ \ \ \end{matrix}\)

Nếu a = -2b. Chọn a = 2, b = -1. Phương trình đường thẳng HB: 2x - y + 2 = 0

B(b; 2b + 2), D(3d - 1;d)

Do G là trọng tâm tam giác ADC nên \(BG = 2GD \Rightarrow \overrightarrow{GB} = -2 \overrightarrow{GD} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b = 1\\ d = 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow B(1;4), D(2;1)\)

Phương trình đường thẳng AB: 3x + y - 7 = 0; phương trình đường thẳng AD: x + 2y - 4 = 0

Suy ra A(2; 1) (loại) 

Nếu b = 2a. Phương trình HB: x + 2y + 1 = 0

B(-2b - 1; b), D(3d - 1; d) \(\Rightarrow \overrightarrow{GB} = -2 \overrightarrow{GD} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b = 2\\ d = 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow B(-5;2), D(5;2)\)

Phương trình AB: 3x + y + 13 = 0; Phương trình AD: 2x - y - 8 = 0. Suy ra A(-1; -10)

Do ABCD là hình bình hành suy ra \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) suy ra C(1; 14)

Thử lại: \(\cos \widehat{ABD} = \cos (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{BAD} = 45^0\) (loại)