Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết tam giác ABC có trực tâm H và A(2;6)

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow{AC}=(x_C-2,y_C-6)\) ;\(\overrightarrow{AQ}=(-1,-6)\)

Vì $A,C,Q$ thẳng hàng nên tồn tại $k$ sao cho:

\(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AQ}\Leftrightarrow (x_C-2,y_C-6)=k(-1,-6)\)

\(\Rightarrow \frac{x_C-2}{-1}=\frac{y_C-6}{-6}\Rightarrow y_C=6x_C-6\).

Tọa độ \(C(c,6c-6)\)

$M$ là trung điểm $BC$ nên: \(\left\{\begin{matrix} \frac{x_B+c}{2}=1\\ \frac{y_B+6c-6}{2}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_B=2-c\\ y_B=16-6c\end{matrix}\right.\). Tọa độ \(B(2-c,16-6c)\)

---------------------

Mặt khác. Gọi tọa độ $P$ là \((a,\frac{1-a}{2})\)

$H$ là trung điểm $PQ$ nên:

\(\left\{\begin{matrix} x_H=\frac{x_P+x_Q}{2}=\frac{a+1}{2}\\ y_H=\frac{y_P+y_Q}{2}=\frac{1-a}{4}\end{matrix}\right.\). Tọa độ \(H(\frac{a+1}{2}; \frac{1-a}{4})\)

Ta có:

\(BH\perp AQ\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{QA}=0\)

\(\Leftrightarrow (\frac{a+1}{2}-2+c, \frac{1-a}{4}-16+6c).(1,6)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+1}{2}-2+c+6(\frac{1-a}{4}-16+6c)=0\)

\(\Leftrightarrow 37c-a-96=0(1)\)

\(AH\perp MC\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{MC}=0\)

\(\Leftrightarrow (\frac{a-3}{2}, \frac{-a-23}{4})(c-1, 6c-11)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-3)(c-1)}{2}-\frac{(a+23)(6c-11)}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow 9a-4ac-144c+259=0(2)\)

Giải hệ (1)(2) ta có pt vô nghiệm nên không tồn tại tọa độ B,C

Bạn check lại đề nhé, số quá xấu :)