Tìm tất cả các giá trị của m để ứng với mỗi giá trị đó phương trình: \(\left| {1 - mx} \right| = 1 + \left( {1 - 2m} \right)x + m{x^2}\). Chỉ có đúng một nghiệm.

Khi \(m = 0\), dễ thấy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x = 0.\)

Giả sử \(m ≠ 0\). Đặt \(t = 1 – mx\), ta có \(x = \dfrac{{1 - t}}{m}\) và ta được phương trình

\(m\left| t \right| = {t^2} + \left( {2m - 3} \right)t + 2 - m.\)         (1)

Hiển nhiên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (1) có một nghiệm duy nhất. Ta có phương trình (1) tương đương với

\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 0}\\{{t^2} + \left( {m - 3} \right)t + 2 - m = 0}\end{array}} \right.\)

hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 0}\\{{t^2} + \left( {3m - 3} \right)t + 2 - m = 0.}\end{array}} \right.\)

Ta xét các trường hợp sau

● Trường hợp \(m > 2\). Lúc này mỗi phương trình bậc hai trong hệ (I) và (II) đều có hai nghiệm trái dấu, suy ra mỗi hệ (I) và (II) đều có một nghiệm, nghĩa là phương trình (1) có hai nghiệm (trái dấu). Vậy \(m > 2\) không thỏa mãn điều kiện của bài toán.

● Trường hợp \(m ≤ 2\). Lúc này phương trình bậc hai trong hệ (I) có hai nghiệm \({t_1} = 1\) và \({t_2} = 2 - m.\) Do \(m ≤ 2\) nên cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(t ≥ 0\). Vậy nếu \(t_1 ≠ t_2\), tức là \(m ≠ 1\) thì hệ (I) có hai nghiệm phân biệt, tức là (I) có ít nhất hai nghiệm phân biệt, không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Cuối cùng, khi \(m = 1\), dễ thấy hệ (I) có một nghiệm duy nhất \(t = 1\), hệ (II) vô nghiệm nên phương trình (1) có một nghiệm duy nhất.

Tóm lại, các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(m \in \left\{ {0;1} \right\}.\)