Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình sau \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0.\)

\({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 0\).

Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)

Bất phương trình tương đương với: \({x^2} + 6x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 2mx\,\,\,\left( 1 \right).\)

Với \(x = 0,\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 \ge 0,\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Với \(x > 0,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}}  \ge 2m.\)

Đặt \(\sqrt {2\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}  = t,\,\,\,x > 0 \Rightarrow t \ge 2\) (theo AM-GM).

\( \Rightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}}  = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 6\) \( = \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 8t} \right) + 6 = \frac{1}{2}{\left( {t - 4} \right)^2} - 2 \ge  - 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4 \Leftrightarrow 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 16\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \frac{2}{x} - 16 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 16x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4 - \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)  

Vậy \(x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}}  \ge  - 2,\forall x > 0.\)

Vậy để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x}  \ge 0\) đúng với mọi \(x \ge 0\) thì \(2m \le  - 2 \Leftrightarrow m \le  - 1.\)