OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm min của (x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2)

Đề: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y\le z\end{matrix}\right.\) tìm Min của \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\) Làm thế này không biết đúng ko

Ta có :A= \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\)

=> A \(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(A\ge3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)=6+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)

Do \(x+y\le z\Rightarrow\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\le1\) ; Đặt \(u=\dfrac{x}{z}\); \(v=\dfrac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}=\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{v^2}\ge\dfrac{2}{uv}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(u+v\right)^2}{4}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)

\(\Rightarrow A\ge6+\dfrac{15}{16}.8=\dfrac{27}{2}\) Vậy minA = \(\dfrac{27}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{z}{2}\)

  bởi Nguyễn Anh Hưng 06/11/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+3\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\)

    \(\Rightarrow VT\ge\)\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+5\)

    Lần lượt có các đánh giá: \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2\)

    \(\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4z}{x+y}\right)^2\)

    \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4z}{x+y}\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2+5\)

    Đặt \(t=\dfrac{z}{x+y}\ge1\) thì ta được:

    \(\Rightarrow VT\ge8t^2+\dfrac{1}{2t^2}+5\)\(\ge\dfrac{17}{2}+5=\dfrac{27}{2}\)

      bởi Ly phan Trinh 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF