OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm GTNN của P=a^3/b+b^3/c+c^3/a

Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6

Tìm min của P = \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\)

  bởi Nguyễn Vân 22/10/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\)

    Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta luôn có: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

    \(\Rightarrow P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2\) (1)

    Sử dụng những bđt rất quen thuộc sau:

    \((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\)

    \(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)

    Cộng vào suy ra \(6\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2\)

    Đặt \(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\)

    Ta có \(6\leq t+\frac{t^2}{3}\Leftrightarrow t^2+3t-18\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (t+6)(t-3)\geq 0\)

    Vì \(t>0\Rightarrow t+6>0\Rightarrow t-3\geq 0\Rightarrow t\geq 3\)

    \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\geq 3(2)\)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Phạm Nguyên Bảo Nhi 22/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10