Tìm GTNN của P=5(x^2+y^2)+2z^2 biết (x+y)(x+z)(y+z)=144

À, rồi, hiểu ý bạn. Tức là bạn muốn CM với \(x,y,z\in\mathbb{R}\), không cần đk dương đúng không. Hôm qua thấy Thắng cmt nên chột dạ cho luôn \(x,y,z>0\)

Lời giải:

BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ngược dấu với hai số vẫn luôn đúng cho trường hợp số thực: \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0\) \(\forall x,y\in\mathbb{R}\)

Giờ ghép cặp thôi:

\((3x+3y)(2x+2z)\leq \left(\frac{5x+3y+2z}{2}\right)^2\)

\((3x+3y)(2y+2z)\leq \left(\frac{5y+3x+2z}{2}\right)^2\)

\((x+z)(y+z)\leq \left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2\)

Bất kể vế trái có thừa số âm thừa số dương nhưng vì tích của \((x+y)(y+z)(z+x)>0\) nên khi nhân theo vế dấu không bị đổi, thu được:

\(47775744\leq (5x+3y+2z)^2(5y+3x+2z)^2(x+y+2z)^2\)

\(\leq \left(\frac{8x+8y+4z}{2}\right)^4(x+y+2z)^2\Rightarrow 2985984\leq (2x+2y+z)^4(x+y+2z)^2\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

\((x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}\)

\(4x^2+4y^2+z^2\geq \frac{(2x+2y+z)^2}{3}\)

Giờ thì tất cả đều dương rồi. AM-GM ba số:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}+\frac{(2x+2y+z)^2}{6}+\frac{2x+2y+z)^2}{6}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y+2z)^2(2x+2y+z)^4}{6^3}}\geq 72\)