OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm GTNN của P=1/x+1/y+1/z+2xyz biết z^2+y^2+z^2=1

Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2xyz\)

  bởi thu hằng 06/11/2018
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Áp dụng bất đăng thức Cauchy : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)

    Nên \(P\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}+2xyz\). Đẳng thức khi : x=y=z

    Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\)

    Cũng theo Cauchy : \(1=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt{x^2y^2z^2}\). Đẳng thức khi x=y=z

    Nên ta có 0<t\(\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)

    Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{3}{t}+2t^3\) với  0<t\(\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)

    Tính \(f'\left(t\right)=-\frac{3}{t^2}+6t^2=\frac{3\left(2t^2-1\right)}{t^2}\)

    Lập bảng biến thiên của f(t) rồi chỉ ra : \(f\left(t\right)\ge\frac{29\sqrt{3}}{9}\) với mọi t\(\in\left(0;\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)

    Từ đó \(P\ge\frac{29\sqrt{3}}{9}\)

    Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{29\sqrt{3}}{9}\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

     
      bởi Nguyễn Thị Ngọc Ánh 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10