Tìm giá trị m để bất phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 1 \le 0\) có nghiệm?

Tìm m để bất phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 1 \le 0\) có nghiệm?

+) Với \(m = 0\) ta có bất phương trình \( - 2x + 1 \le 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\)

Bất phương trình có nghiệm nên nhận \(m = 0.\)

+) Với \(m \ne 0\)

Xét \(f\left( x \right) = m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 1\)

Ta có \(\Delta ' = {m^2} - 3m + 1\)

Để \(f\left( x \right) \le 0\) có nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 1 > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} - 3m + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\m \le \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\m \le \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)  thì bất phương trình đã cho có nghiệm.