Tìm các giá trị tham số của m để bất phương trình \( - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\) nghiệm đúng với mọi số thực x.

\(\begin{array}{l} - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}}\\\frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 2x - 2019 \le {x^2} - 2x - m\\{x^2} - 2x - m < 2{x^2} + 4x + 4038\end{array} \right.\\\left( {do\,\,{x^2} + 2x + 2019 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2019 - m \ge 0\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + 6x + m + 4038 > 0\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\,\, \Leftrightarrow \) (1) và (2) nghiệm đúng với mọi số thực \(x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} \le 0\\{\Delta _2} < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {2019 - m} \right) \le 0\\9 - \left( {m + 4038} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2019 - m \ge 0\\ - 4029 - m < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2019\\m >  - 4029\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 4029 < m \le 2019.\end{array}\)

Vậy với \( - 4029 < m \le 2019\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.