Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3{ {x}} - 4 \le 0}\\{\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm.

Phương trình \({x^2} - 3{ {x}} - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} = 4,\) nên bất phương trình \({x^2} - 3{ {x}} - 4 \le 0\) có tập nghiệm là \({S_1} = \left[ { - 1;4} \right].\)

Xét bất phương trình

\(\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x \ge 2.\)   (1)

*) Nếu \(m – 1 = 0\) thì bất phương trình trên vô nghiệm.

*) Nếu \(m – 1 > 0 ⇔ m > 1\) thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là

\({S_2} = \left[ {\dfrac{2}{{m - 1}}; + \infty } \right).\)

Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \) tức là

\(\dfrac{2}{{m - 1}} \le 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2},\) thỏa mãn điều kiện m > 1.

Vậy \(m \ge \dfrac{3}{2}.\)

*) Nếu \(m – 1 < 0 ⇔ m < 1\) thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là

\({S_3} = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{{m - 1}}} \right].\)

Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

\({S_1} \cap {S_3} \ne \emptyset  \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m - 1}} \ge  - 1\)

\(\Leftrightarrow  - \left( {m - 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \le  - 1.\)

Thỏa mãn điều kiện \(m < 1\). Vậy \(m ≤ -1\).

Tóm lại các giá trị của m để hệ có nghiệm là \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\)