Tìm a để pt x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 có nghiệm và a^2+b^2 đạt GTNN

nhận thấy x=0 không là nghiệm,chia cả 2 vế của PT cho x²

\(PT\Leftrightarrow x^2+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)

đặt \(x+\dfrac{1}{x}=k\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=k^2-2\)

\(PT\Leftrightarrow k^2-2+ak+b=0\)(*)

\(\Leftrightarrow k^2-2=-\left(ak+b\right)\Leftrightarrow\left(k^2-2\right)^2=\left(ak+b\right)^2\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(\left(k^2-2\right)^2=\left(ak+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(k^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{\left(k^2-2\right)^2}{k^2+1}\)

Đến đây nếu use phương pháp miền giá trị thì sẽ ra \(a^2+b^2\ge0\).Tuy nhiên lại không tìm được x, có nghĩa là PT vô nghiệm, trái đề bài

để ý ràng \(k=x+\dfrac{1}{x}\ge2\)

\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(k^2-2\right)^2}{k^2+1}=k^2+1+\dfrac{9}{k^2+1}-6\)( chọn điểm rơi k=2)

\(=\left(\dfrac{25}{k^2+1}+k^2+1\right)-\dfrac{16}{k^2+1}-6\)

Áp dụng BĐT AM-GM và \(k\ge2\) ta có:

\(a^2+b^2\ge2.5-\dfrac{16}{5}-6=\dfrac{4}{5}\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{k}=\dfrac{b}{1}\\k=2\\x=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=2b\)

Thế vào PT đầu tìm ra a,b với x=1

P/s: thực ra x phải là \(\pm1\) nhưng a>0 nên chỉ xét x>0