Thực hiện xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó có đỉnh là \(I(2;- 2)\);

Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol đi qua \(I\)

\( \Rightarrow  - 2 = a{.2^2} + b.2 + 2 \) \(\Rightarrow  - 2 = 4a + 2b + 2 \)

\(\Rightarrow 4a + 2b =  - 4\) (1)

Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên \( -\frac{b}{2a}=2\)

\( \Leftrightarrow  - b = 4a \Leftrightarrow 4a + b = 0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
4a + 2b = - 4\\
4a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 4
\end{array} \right.\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\).

Cách khác:

Parabol \(y = a{x^2}\; + {\rm{ }}bx + 2\) có đỉnh \(I(2 ; –2)\), suy ra :

\(\begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\,\,\left( 1 \right)\\ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2 \Leftrightarrow \Delta  = 8a\\ \Rightarrow {b^2} - 4a.2 = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} - 8a = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} = 16a\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right){\rm{ }} \Rightarrow {b^2}\; = 16.{a^2}\), thay vào (2) ta được

\(16{a^2}\; = {\rm{ }}16a\;\) \( \Leftrightarrow 16{a^2} - 16a = 0\) \( \Leftrightarrow 16a\left( {a - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\left( {loai} \right)\\a = 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Với \(a = 1\) thì \(b =  - 4.1{\rm{ }} = -4.\).

Vậy parabol cần tìm là \(y = {\rm{ }}{x^2}-4x + 2.\)