Tập hợp các giá trị của \(m\) để \(3\) đường thẳng sau đồng quy: \(2x - y + 1 = 0\), \(x - y + 2 = 0\), \(\left( {1 + {m^2}} \right)x - y + 2m - 1 = 0\) là câu?

\(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right),\,\,\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} \cap \,{d_2} = \left\{ A \right\}\\A \in \left( {\,{d_3}} \right)\end{array} \right.\)

(xác định giao điểm của hai đường thẳng sau đó chứng minh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba)

Cách giải:

\(\left( {{d_1}} \right):\,\,2x - y + 1 = 0\), \(\left( {{d_{^2}}} \right):\,\,x - y + 2 = 0\), \(\left( {{d_{^3}}} \right):\,\,\left( {1 + {m^2}} \right)x - y + 2m - 1 = 0\)

Gọi \(\left( {{d_1}} \right) \cap \left( {{d_2}} \right) = A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\). Tọa độ điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}2{x_A} - {y_A} + 1 = 0\\{x_A} - {y_A} + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_A} - {y_A} =  - 1\\{x_A} - {y_A} =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1\\{y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,3} \right)\end{array}\)

Để \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right),\,\,\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy thì \(A\left( {1;\,\,3} \right) \in \left( {{d_3}} \right):\left( {1 + {m^2}} \right)x - y \)\(+ 2m - 1 = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + {m^2}} \right).1 - 3 + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + {m^2} - 3 + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\).

Chọn A.