Ta cho biểu thức \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right),\) với \(m\) là tham số. Xác định \(m\) để \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}.\)

\(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right).\)

TH1: Với \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) ta có: \(f\left( x \right) =  - 4x - 3\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 4x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: Với \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) ta có \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai.

\( \Rightarrow f\left( x \right) \le 0\,\,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3{m^2} + 9m - 6 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\2{m^2} - 11m + 5 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}.\)

Vậy với \(m \le \frac{1}{2}\) thì \(f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}.\)