Qua điểm E thuộc cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AB tại F

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD vuông cân tại B. Gọi M là trung điểm của DF thì \(ME=\frac{DF}{2}=MB\Rightarrow \Delta MEB\) cân tại  \(M\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{MBE}\)  và \(\widehat{MFB}=\widehat{MBF}\). Xét tứ giác BEMF có \(\widehat{MBE}+\widehat{MFB}=\widehat{MBE}+\widehat{MBF}=\widehat{EBF}=135^0\)
Suy ra \(\widehat{EMF}=360^0-2.135^0=90^0\). Vậy ∆EDF vuông cân tại E, nên ED = EF = 5.
Từ đó xác định được D, do đó B và C cũng được xác định.
Ta có: \(\overrightarrow{EF}=(4;-3)\), phương trình DE: 4x – 3y + 2 = 0.
Giả sử \(D(t;\frac{4t+2}{3})\) khi đó ED = 5 \(\Leftrightarrow (t-1)^2+(\frac{4t-4}{3})^2=25\)
\(\Leftrightarrow (t-1)^2=9\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=-2\\ t=4 \end{matrix}\)
+ Với t = 4. Khi đó D(4;6), \(\overrightarrow{FA}=(1;-1)\), phương trình BD: x – y + 2 = 0 và phương trình AF: x + y – 4 = 0.
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-y+2=0\\ x+y-4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow B(1;3)\)
Mặt khác điểm B phải thuộc đường thẳng d đi qua E song song với AD, nên tọa độ điểm B phải thỏa mãn phương trình đường thẳng d: 4x + y – 6 = 0, khi đó: 4 + 3 – 6 = 0. Điều này mâu thuẫn.

+ Với t = -2. Khi đó D(-2;-2), phương trình BD: x – y = 0 và B là giao điểm của BD và AF. Suy ra B(2;2). Điểm B phải thuộc đường thẳng qua E song song với AD: y – 2 = 0, rõ ràng điểm B(2;2) thỏa mãn
Ta có\(\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\). Từ đó suy ra điểm C(-2;2). Khi đó \(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=0=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow CD\perp BC\) và \(CD\perp AD\)
Vậy B(2;2), C(-2;2) và D(-2;-2)