Lập phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A(1;2), B(3;4)\) và tiếp xúc với đường thẳng \({\Delta _1}:3x + y - 3 = 0\).

Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm đường tròn.

Khi đó \(IA = IB\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + {{\left( {4 - b} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 1 - 2a + {a^2} + 4 - 4b + {b^2}\) \( = 9 - 6a + {a^2} + 16 - 8b + {b^2}\)

\( \Leftrightarrow 4a + 4b - 20 = 0 \Leftrightarrow b = 5 - a\).

Lại có \(d\left( {I,{\Delta _1}} \right) = IA\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a + b - 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a + \left( {5 - a} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {10} }}\) \( = \sqrt {5 - 2a + {a^2} - 4\left( {5 - a} \right) + {{\left( {5 - a} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left| {2a + 2} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {10 - 8a + 2{a^2}} \) \( \Leftrightarrow {\left( {2a + 2} \right)^2} = 10\left( {10 - 8a + 2{a^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 16{a^2} - 88a + 96 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4 \Rightarrow b = 1\\a = \dfrac{3}{2} \Rightarrow b = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {I_1}\left( {4;1} \right),{R_1} = {I_1}A = \sqrt {10} \), ta có phương trình \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\).

\({I_2}\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\), \({R_2} = {I_2}A = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\), ta có phương trình \({\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} = \dfrac{5}{2}\)