Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m < 0\) vô nghiệm.

Bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m < 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \) \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0\) có nghiệm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4m} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4m} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 16m \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 + 16m \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \le 0\end{array}\)

Mà \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\) suy ra \({\left( {m + 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\).

Vậy với \(m =  - 1\) thì bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m < 0\) vô nghiệm.