Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N

(T) có tâm I(3;1), bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Do \(IA =IC\Rightarrow \widehat{IAC}= \widehat{ICA} \ (1)\)
Đường tròn đường kính AH cắt BC tại \(M\Rightarrow MH\perp AB\Rightarrow MH//AC\) (cùng vuông góc AC) \(\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{ICA}\)  (2)
Ta có: \(\widehat{ANM} = \widehat{AHM}\) (chắn cung AM) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: 
\(\widehat{IAC}+ \widehat{ANM} =\widehat{ICA} +\widehat{AHM}\)
\(\widehat{MHB} +\widehat{AHM}=90^0\)
Suy ra: AI vuông góc MN
\(\Rightarrow\) phương trình đường thẳng IA là: x + 2y - 5 =0
Giả sử \(A( a;a)\in IA\)
Mà \(A\in (T)\Leftrightarrow (5-2a)^2+a^2-6(5-2a)-2a+5=0\Leftrightarrow 5a^2-10a=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=0\\ a=2 \end{matrix}\)
Với \(a=2\Rightarrow A(1;2)\) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN)
Với \(a=0\Rightarrow A(5;0)\) (loại vì A, I cùng phía MN)
Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH \(\Rightarrow E\in MN\Rightarrow E\left ( t;2t-\frac{9}{10} \right )\)
Do E là trung điểm AH \(\Rightarrow H\left ( 2t-1;4t-\frac{38}{10} \right )\)
\(\Rightarrow \overline{AH}=\left ( 2t-2;4t-\frac{58}{10} \right ),\overline{IH}=\left ( 2t-4;4t-\frac{48}{10} \right )\)
Vì \(AH\perp HI\Rightarrow \overline{AH}.\overline{IH}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 20t^2-\frac{272}{5}t+\frac{896}{25}=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{8}{5}\Rightarrow H\left ( \frac{11}{5};\frac{13}{5} \right ) (thoa\ man)\\ \\ t=\frac{28}{25}\Rightarrow H\left ( \frac{31}{25};\frac{17}{25} \right ) \ (loai) \end{matrix}\)
Với \(t=\frac{8}{5}\Rightarrow H\left ( \frac{11}{5};\frac{13}{5} \right )\) thỏa mãn
Ta có: \(\overline{AH}=\left ( \frac{6}{5};\frac{3}{5} \right )\Rightarrow\) nhận \(\vec{n}=(2;1)\) là VTPT
\(\Rightarrow\) phương trình BC là: 2x + y - 7 = 0