Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Điểm D thuộc tia đối của tia AC sao cho GD = GC

Tam giác ABC vuông cân tại A có G là trọng tâm nên GB = GC
Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm G. 
Suy ra \(\widehat{BGD}=2\widehat{BCD}=2\widehat{BCD}=90^0\Rightarrow BG\perp GD\)
Hay tam giác BDG vuông cân tại G
Đường tròn (C) tâm I(1;6) bán kính \(R=\sqrt{ 10}\) ngoại tiếp tam giác BDG nên I là trung điểm của BD
Do đó \(IG=\sqrt{10}\) và \(IG\perp BD\)
Vì \(G\in d: 2x+3y-13=0\Rightarrow G\left ( m;\frac{13-2m}{3} \right )\)
Từ \(IG=\sqrt{10}\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} G(2;3)\\ \\ G(-\frac{28}{13};\frac{75}{13}) \end{matrix}\), do toạ độ điểm G là số nguyên nên G(2;3).
BD đi qua I(1;6) và IG \(\perp\) BD nên phương trình x - 3y +17 = 0
\(B,D\in BD\cap (C)\Rightarrow \begin{bmatrix} B(-2;5)\\ D(4;7) \end{matrix}\) (do hoành độ điểm B âm)
Vậy B(-2;5)
Gọi M là trung điểm của BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân tại A)
Suy ra \(AM\perp BC\Rightarrow GM\perp MB\) và \(GM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}MB\)
Nên  \(tan\widehat{GBM}=\frac{MG}{MB}=\frac{1}{3}\Rightarrow cos\widehat{GBM} =\frac{3}{\sqrt{10}}\)
Gọi \(\vec{n}=(a;b)\) với \((a^2+b^2)\neq 0\) là VTPT của BC.
Ta có VTCP của BG là \(\overrightarrow{BG}=(4;-2)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BG}}=(1;2)\) là VTPT của BG
Có \(cos(BG,BC)=\left | cos(\overrightarrow{n_{BG}},\vec{n}) \right |\Leftrightarrow cos\widehat{GBM} =\left | cos(\overrightarrow{n_{BG}},\vec{n}) \right |\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{\left | a+2b \right |}{\sqrt{5(a^2+b^2)}} \Leftrightarrow 35a^2-40ab+5b^2=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a-b=0\\ 7a-b=0 \end{matrix}\)
Trường hợp 1: Với \(a-b=0\Rightarrow \vec{n}=(1;1)\) nên phương trình BC: x + y - 3 = 0

Trường hợp 2: Với \(7a-b=0\Rightarrow \vec{n}=(1;7)\) nên phương trình BC: x + 7y - 33 = 0 
Do hai điểm D và G cùng mằn về một phía đối với đường thẳng BC nên phương trình BC thoả mãn là x + y - 3 = 0
Vậy BC: x + y - 3 = 0 và B(-2;5)