Giải và biện luận theo tham số m của phương trình sau đây: \(\dfrac{{\sqrt {4x - 2} }}{{2x - 1}} = m - 1\).

Điều kiện của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 2 \ge 0}\\{2x - 1 \ne 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \dfrac{1}{2}}\\{x \ne \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\)

Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:

\(\dfrac{{\sqrt {4x - 2} }}{{2x - 1}} = m - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2(2x - 1)}  = (m - 1)(2x - 1)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {(2x - 1)} {\rm{[}}\sqrt 2  - (m - 1)\sqrt {2x - 1} {\rm{]}} = 0\)

\( \Leftrightarrow (m - 1)\sqrt {2x - 1}  = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2}(2x - 1) = 2\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{{{(m - 1)}^2} + 2}}{{2{{(m - 1)}^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{{(m - 1)}^2}}}\).

Giá trị \(x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{(m - 1){}^2}}\) thỏa mãn điều kiện \(x > \dfrac{1}{2}\).

Kết luận. Với \(m \le 1\) phương trình vô nghiệm.

              Với m > 1  nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{{(m - 1)}^2}}}\).