Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: \(\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = (4m + 1)x + 1\)

Điều kiện \(x + 3 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne  - 3\). Khi đó ta có:

\(\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = (4m + 1)x + 1\) \( \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8mx = \left( {4m + 1} \right){x^2} + 3\left( {4m + 1} \right)x + x + 3\\
\Leftrightarrow \left( {4m + 1} \right){x^2} + \left[ {3\left( {4m + 1} \right) + 1 - 8m} \right]x + 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {4m + 1} \right){x^2} + \left( {4m + 4} \right)x + 3 = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)\)

Với \(m =  - \dfrac{1}{4}\)phương trình (1) trở thành

\(3x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x =  -1\)

Với \(m \ne  - \dfrac{1}{4}\) phương trình (1) là một phương trình bậc hai có

\({\Delta '}  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {4m + 1} \right) \) \(= 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 12m - 3 \) \(= 4{m^2} - 4m + 1= {(2m - 1)^2} \ge 0\).

Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm

\({x_1} =  - \dfrac{3}{{4m + 1}},{x_2} =  - 1\).

Ta có \( - \dfrac{3}{{4m + 1}} \ne  - 3\) \( \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)

Kết luận

Với \(m = 0\) hoặc \(m =  - \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có một nghiệm \(x =  - 1\)

Với \(m \ne 0\)và \(m \ne  - \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có hai nghiệm

\(x =  - 1\) và \(x =  - \dfrac{3}{{4m + 1}}\).