Giải và biện luận phương trình \(\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right|\).

Ta có:\(\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right| \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  mx + 2 = 2x - m \hfill \cr  mx + 2 =  - 2x + m \hfill \cr}  \right.\)

Với: \(mx + 2 = 2x - m\)

\(\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x =  - \left( {m + 2} \right)\)     (1)

+ \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) : Phương trình (1) có nghiệm \(x =  - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}}\)

+ \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) : Phương trình trở thành \(0x= -4\). Phương trình này cô nghiệm.

Với: \(mx + 2 =  - 2x + m \)\(\,\Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x = m - 2\)   (2)

+ \(m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2\) : Phương trình (2) có nghiệm \(x = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}\)

+ \(m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\) : Phương trình trở thành \(0x =  - 4\) . Phương trình này vô nghiệm.

Ta có \( - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}\)

\(\Leftrightarrow  - {\left( {m + 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow 2{m^2} + 8 = 0\)

Phương trình này vô nghiệm nên khả năng này không xảy ra.

Kết luận:

\(m \ne  \pm 2\) : Hai nghiệm \(x_1 =  - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}},x_1 = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}\)

\(m =  \pm 2\) : Một nghiệm \(x = 0\) .