Giải phương trình \(\frac{2x^5+3x^4-24x^3}{\sqrt{x+2}}=(4x^4+14x^3+3x^2+2)(1-\frac{2}{\sqrt{x+2}})\)

Điền kiện: x > -2 (*)
\(PT\Leftrightarrow x^3(2x^2+3x-14)=(4x^4+14x^3+3x^2+2)(\sqrt{x+2}-2)\)
\(\Leftrightarrow x^3(x-2)(2x+7)(\sqrt{x+2}+2)=(4x^4+14x^3+3x^2+2)(x+2-4)\)
\(\Leftrightarrow x^3(x-2)(2x+7)(\sqrt{x+2}+2)=(4x^4+14x^3+3x^2+2)(x-2)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x-2=0\Leftrightarrow x=2 \ (thoa \ man) (*)\\ x^3(2x+7)(\sqrt{x+2}+2)=4x^4+14x^3+3x^2+2 \ (1) \end{matrix}\)
\((1)\Leftrightarrow x^3(2x+7)(\sqrt{x+2}+2)=4x^4+14x^3+3x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^3(2x+7)(\sqrt{x+2}+2)=3x^2+2\)
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình \(\Rightarrow x\neq 0\)
Khi đó, PT \(\Leftrightarrow (2x+4+3)\sqrt{x+2}=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\)
\(\Leftrightarrow 2(x+2)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x} \ (2)\)
Xét hàm số: f(t) = 2t³ + 3t với \(t\in R\)
Ta có: \(f'(t)=6t^2+3>0 \ \forall t\in R\)
\(\Rightarrow\) Hàm số f(t) đồng biến trên R
Do đó \(\Leftrightarrow f(\sqrt{x+2})=f\left ( \frac{1}{x} \right )\Leftrightarrow \sqrt{x-2}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x\sqrt{x+2}=1\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ (x+1)(x^2+x-1)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) (thỏa mãn (*))
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} ,x=2\)