Giải phương trình: \(5(1+\sqrt{1+x^3})=x^2(4x^2-25x+18)\)

Điều kiện: \(x\geq -1\)
\(5(1+\sqrt{1+x^3})=x^2(4x^2-25x+18)\)
\(\Leftrightarrow 5+5\sqrt{1+x^3}=4x^4-25x^3+18x^2\)
\(\Leftrightarrow 25x^3+25+5\sqrt{1+x^3}=4x^4+18x^2+20\)
\(\Leftrightarrow 25(x^3+1)+5\sqrt{1+x^3}=(4x^4+16x^2+16)+2x^2+4\)
\(\Leftrightarrow (5\sqrt{1+x^3})+5\sqrt{1+x^3}=(2x^2+4)^2+2x^2+4\)  (1)
Hàm số \(f(t)=t^2+t\) đồng biến trên \([0;+\infty )\) nên
\((1)\Leftrightarrow f(5\sqrt{1+x^3})=f(2x^2+4)\)
\(\Leftrightarrow 5\sqrt{1+x^3}=2(x^2+2)\)
\(\Leftrightarrow 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2[(x+1)+(x^2-x+1)]\)   (2)

Đặt: \(u=\sqrt{x+1}\geq 0\) và \(v=\sqrt{x^2-x+1}> 0\)
(2) thành: \(5uv=2(u^2+v^2)\Leftrightarrow 2\left ( \frac{u}{v} \right )^2-5\left ( \frac{u}{v} \right )+2=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{u}{v}=2\\ \\ \frac{u}{v}=\frac{1}{2} \end{matrix}\)
Với \(\frac{u}{v}=2\): \(\sqrt{x+1}=2\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ 4x^2-5x+3=0 \end{matrix}\right.\) vô nghiệm
Với \(\sqrt{x+1}=\frac{1}{2}: 2\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x^2-5x+3=0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}\)
Phương trình có hai nghiệm: \(x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}\)