Giải hệ pt căn(2x-y-1)+căn(3y+1)=căn(x)+căn(x+2y) và x^3-3x+2=2y^2-y^2

Điều kiện :\(\begin{cases}2x-y-1\ge0\\x+2y\ge0\\x>0\\y\ge-\frac{1}{3}\end{cases}\)

Từ (1) \(\Leftrightarrow\sqrt{2x-y-1}-\sqrt{x}+\sqrt{3y+1}-\sqrt{x+2y}=0\)

          \(\Leftrightarrow\frac{x-y-1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}-\frac{x-y-1}{\sqrt{3y+1}+\sqrt{x-2y}}=0\)

          \(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}}\right)\)

          \(\Leftrightarrow\begin{cases}y=x-1\left(3\right)\\\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}\left(4\right)\end{cases}\)

Từ (4) \(\Leftrightarrow\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}\)

          \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}\)

          \(\Leftrightarrow y=\frac{x-1}{3}\left(5\right)\)

Từ (3) và (2) ta có :

\(\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)=2\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\x=5\end{cases}\)

x=1 => y=0

x=5 => y=4

Từ (5) và (2) ta có :

\(\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)=\frac{2}{27}\left(x-1\right)^3-\frac{1}{9}\left(x-1\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(25x+59\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) do x>0

Vậy hệ đã cho có nghiệm : \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right);\left(x;y\right)=\left(5;4\right)\)