Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \ \ \ (1)\\ x^2+x+3y+17-6\sqrt{x+7}-2x\sqrt{3y+1}=0 \ \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ y\geq -\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x-y-1\geq 0\\ x+y\geq 0 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow \sqrt{2x-y-1}-\sqrt{x}+\sqrt{3y+1}-\sqrt{x+2y}=0\)
* Nhận xét:
- Nếu \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-y-1}=0\\ \sqrt{x}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-1 \ (L) \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}> 0\)
- Nếu \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3y+1}=0\\ \sqrt{x+2y}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{3}\\ \\ y=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\). Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn
\(\Rightarrow \sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-y-1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}-\frac{x-y-1}{\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}}=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x-y-1=0\\ \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y} \end{matrix}\)

+ TH1: \(x-y-1=0\Leftrightarrow y=x-1\).  Thế vào PT (2) ta được:
\(x^2+4x+14-6\sqrt{x+7}-2x\sqrt{3x-2}=0\) (3)
ĐK: \(x\geq \frac{2}{3}\)
\((3)\Leftrightarrow 2\left [ 6\sqrt{x+7}-(x+16) \right ]+\left [ 4\sqrt{3x-2}-(3x+2) \right ]+x^2-4x+4=0\)
\(\Leftrightarrow -(x^2-4x+4)\left ( \frac{2}{6\sqrt{x+7}+x+16} + \frac{6x-2-4\sqrt{3x-2}}{4\sqrt{3x-2}+3x+2} \right )=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)^2\left ( \frac{2}{6\sqrt{x+7}+x+16}+\frac{2(\sqrt{3x-2-1})^2}{4\sqrt{3-2}+3x+2} \right )=0\)
\(\Leftrightarrow x=2(TM)\Rightarrow y=1(TM)\)
+TH2: \(\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}\\ \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y} \end{matrix}\right.\)
Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình ta được:
\(\sqrt{x}=\sqrt{3y+1}\Leftrightarrow 3y=x-1\)
Thế vào PT (2) ta được:
\(x^2+2x+16-6\sqrt{x+7}-2x\sqrt{x}=0\)  (4) ĐK: \(x\geq 0\)
PT(4) \(\Leftrightarrow (\sqrt{x+7}-3)^2+(x-\sqrt{x})^2=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+7}-3=0\\ x-\sqrt{x}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ x=0 \end{matrix}\right.\) vô lý \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1).