Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{y+2}+\sqrt[3]{y-2}=\sqrt{x^3+4}+x

+ Đk: \(\left\{\begin{matrix} y\geq -2\\ x^2\geq y \end{matrix}\right.\)
+ Từ pt thứ 2 ta có:
\(\sqrt{(y+4)(2y+12)}-8=x^2+y-\sqrt{(x^2+2)(x^2-y)}\)
\(\Leftrightarrow x^2+8+y-\sqrt{(y+4)(2y+12)}-\sqrt{(x^2+2)(x^2-y)}=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2+8+y)-2\sqrt{(y+4)(2y+12)}-2\sqrt{(x^2+2)(x^2-y)}=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{2y+8}-\sqrt{y+6})^2+(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2-y})^2=0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+8}=\sqrt{y+6}\\ \sqrt{x^2+2}=\sqrt{x^2-y} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=-2\)
\(\Rightarrow \sqrt{y+2}=0\)
+ Thay vào pt 1 ta được:
\(2\sqrt{y+2}+\sqrt[3]{y-2}=\sqrt{x^3+4}+x\)
\(\Rightarrow \sqrt{y+2}+\sqrt[3]{y-2}=\sqrt{x^3+4}+x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt[3]{y-2})^2+4}+\sqrt[3]{y-2}=\sqrt{x^3+4}+x\)
+ Xét hàm số: \(f(t)=t+\sqrt{t^3+4}, t\in R\). Ta có:
\(f(t)'=1+\frac{3t^2}{2\sqrt{t^3+4}}>0(\forall t\in R)\Rightarrow f(\sqrt[3]{y-2})=f(x)\Rightarrow \sqrt[3]{y-2}=x\)
+ Vậy ta sẽ có: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{y+2}=0\\ \sqrt[3]{y-2}=x \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\sqrt[3]{4}\\ y=-2 \end{matrix}\right. \ (TM)\)
Kl: Nghiệm duy nhất của hệ là: \((x;y)=(-\sqrt[3]{4};-2)\)