Giải bất phương trình \(x^2+5x< 4(1+\sqrt{x^3+2x^2-4x})\)

*) Điều kiện: \(x^3+2x^2-4x\geq 0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x\geq 1+\sqrt{5}\\ -1-\sqrt{5}\leq x\leq 0 \end{matrix}\)

Bất phương trình đã cho tương với \((x^2+2x-4)+3x\leq 4\sqrt{x(x^2+2x-4)} \ \ (1)\)
Xét hai trường hợp sau đây:
TH1: Với \(-1-\sqrt{5}\leq x\leq 0\). Khi đó \(x^2+2x-4\leq 0\) và \(3x\leq 0\). Hơn nữa hai biểu thức \(x^2+2x-4\) và 3x đồng thời bằng 0. Vì vậy
\((x^2+2x-4)+3x< 0\leq 4\sqrt{x(x^2+2x-4)}\)
Suy ra \(-1-\sqrt{5}\leq x\leq 0\) thỏa mãn bất phương trình đã cho.
TH2: Với \(x\geq -1+\sqrt{5}\). Khi đó \(x^2+2x-4\geq 0\). Đặt \(\sqrt{x^2+2x-4}=a\geq 0,\sqrt{x}=b>0\)
 Bất phương trình trở thành \(a^2+3b^2<4ab\Leftrightarrow (a-b)(a-3b)<0\Leftrightarrow b<a<3b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x}<\sqrt{^2+2x-4}<3\sqrt{x}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+x-4>0\\ x^2-7x-4<0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \frac{-1+\sqrt{17}}{2}<x<\frac{7+\sqrt{65}}{2}\) thỏa mãn

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(-1-\sqrt{5}\leq x\leq 0; \frac{-1+\sqrt{17}}{2}<x<\frac{7+\sqrt{65}}{2}\)