Giải bất phương trình: \(\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}} > \dfrac{{x - 1}}{x}\)

Viết bất phương trình về dạng :

\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.\)

Điều kiện : \( - 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)

Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt {x + 1}  - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \)    (*)

+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1}  < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - 1;0} \right).\)

+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy \(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là

\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)