Giải bất phương trình \(\sqrt{x+1}\geq \frac{x^2-x-2\sqrt[3]{2x+1}}{\sqrt[3]{2x+1}-3}\) trên tập hợp số thực

ĐK: \(x\geq -1, x\neq 13\)
Khi đó: \(\sqrt{x+1}\geq \frac{x^2-x-2\sqrt[3]{2x+1}}{\sqrt[3]{2x+1}-3}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+2\geq \frac{x^2-x-6}{\sqrt[3]{2x+1}-3}\)
\(\Leftrightarrow 1\geq \frac{(x+2)(\sqrt{x+1}-2)}{\sqrt[3]{2x+1}-3}, \ (*)\)
- Nếu \(\sqrt[3]{2x+1}-3>0\Leftrightarrow x>13 \ \ (1)\)
thì \((*)\Leftrightarrow (2x+1)+\sqrt[3]{2x+1}\geq (x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
Do hàm \(f(t)=t^3+t\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\), mà \((*)\)
\(f(\sqrt[3]{2x+1})\geq \sqrt{x+1}\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+1}\geq \sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^3 - x^2-x\leq 0\)
Suy ra: \(x\in \left ( -\infty ; 1-\frac{\sqrt{5}}{2}\right ]\cup \left [0 ; 1+\frac{\sqrt{5}}{2}\right ]\) \(\xrightarrow[]{DK(1)} \ VN\)
- Nếu \(\sqrt[3]{2x+1}-3<0\Leftrightarrow -1\leq x<13 \ \ (2)\)
thì \((2*)\Leftrightarrow (2x+1)+\sqrt[3]{2x+1}\leq (x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
Do hàm \(f(t)=t^3+t\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\), mà (2*): 
\(f(\sqrt[3]{2x+1})\leq f(\sqrt{x+1})\) 
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+1} \leq \sqrt{x+1}\) \(\Leftrightarrow\) 
Suy ra: \(x\in [-1;0]\cup \left [\frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty\right )\xrightarrow[]{DK(2)}x\in [-1;0]\cup \left [\frac{1+\sqrt{5}}{2};13\right )\)
-KL: \(x\in [-1;0]\cup \left [\frac{1+\sqrt{5}}{2};13\right )\)