Giải bất phương trình sau trên tập R: \(\frac{5x-13-\sqrt{57+10x-3x^2}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{19-3x}}\geq x^2+2x+9\)

Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} -3\leq x\leq \frac{19}{3}\\ x\neq 4 \end{matrix}\right.\)

Bất phương trình tương đương
\(\frac{\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{19-3x} \right ) \left ( 2\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x} \right )}{\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x}} \geq x^2+2x+9\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x}\geq x^2+2x+9\)
\(\Leftrightarrow 2\left ( \sqrt{x+3}-\frac{x+5}{3} \right )+\left ( \sqrt{19-3x}- \frac{13-x}{3} \right )\geq x^2+x-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(-x^2-x+2)}{9\left ( \sqrt{x+3}+\frac{x+5}{3} \right )}+ \frac{-x^2-x+2}{9\sqrt{19-3x}+\frac{13-x}{3}}\geq x^2+x-2\)ư

\(\Leftrightarrow (x^2+x-2)\left [ \frac{2}{9\left ( \sqrt{x+3}+\frac{x+5}{3} \right )}+ \frac{1}{9\left ( \sqrt{19-3x}+\frac{13-x}{3} \right )} \right ]\leq 0 (*)\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{9\left ( \sqrt{x+3}+\frac{x+5}{3} \right )}+ \frac{1}{9\left ( \sqrt{19-3x}+\frac{13-x}{3} \right )} >0\) với mọi \(x\in \left [ -3;\frac{19}{3} \right ] \setminus \left \{ 4 \right \}\)
Do đó \((*)\Leftrightarrow x^2+x-2\leq 0\Leftrightarrow -2\leq x\leq 1\) (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [-2;1]