Giải bất phương trình: \(\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)}\geq \frac{1}{2}\)

Điều kiện : \(x\geq\) 2
Ta có \(\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)=\frac{2(x^2-2x+4)}{\sqrt{6(x^2+2x+4)}+2(x+2)}>0,\forall x\geq -2\)

Do đó bất phương trình \(\Leftrightarrow 2(\sqrt{x+2}-2)\geq \sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)\)
                                   \(\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}-2x\geq \sqrt{12(x+2x)+6x^2}\)   (1)

Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình

Khi x > -2 chia hai vế bất phương trinh (1) cho \(\sqrt{x+2}> 0\) ta được 
\(2+2.\frac{x}{\sqrt{x+2}}\geq \sqrt{12+6.\left ( \frac{x}{\sqrt{x+2}} \right )}\) (2)
Đặt \(t= \frac{x}{\sqrt{x+2}}\) thì bất phương trình (2) được
\(2+2t\geq \sqrt{12+6t^2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2+2t\geq 0\\ 4+8t+4t^2\geq 12+6t^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t\geq -1\\ 2 (t-2)^2\leq 0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow t=2\)
\(t=2\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+2}}=2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x^2-4x-8=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2+2\sqrt{3}\)
Bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2+2\sqrt{3}\)