Giải bất phương trình \(1+x\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2-x+1}(1+\sqrt{x^2-x+2})\)

Bất phương trình đã cho tương đương
\((x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2})+(1-\sqrt{x^2-x+1})>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x-1)(2x^2-x+2)}{x\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x(1-x)}{1+\sqrt{x^2-x+1}}\))>0
\(\Leftrightarrow (x-1) (\frac{(2x^2-x+2)}{x\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}}-\frac{x}{1+\sqrt{x^2-x+1}})\)>0
\(\Leftrightarrow (x-1).A>0\) (1) với \(A=\frac{2x^2-x+2}{x\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}}-\frac{x}{1+\sqrt{x^2-x+1}}\)

Nếu \(x\leq 0\) thì \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-x+1}\geq \sqrt{x^2+1}\\ \sqrt{x^2-x+2}>-x \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}\geq -x\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}+x\sqrt{x^2+1}>0\Rightarrow A>0\)
Nếu x>0, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 
\(\large \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}\leq \frac{x^2-x+1+x^2-x+2}{2}=x^2-x+\frac{3}{2}\\ \\ x\sqrt{x^2+1}\leq \frac{x^2+x^2+1}{2}=x^2+\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-x+1}\sqrt{x^2-x+2}+x\sqrt{x^2+1}\leq 2x^2-x+2\)
\(\Rightarrow A\geq 1-\frac{x}{1+\sqrt{x^2-x+1}}>0\) vì \(\frac{x}{1+\sqrt{x^2-x+1}}<1\)

Tóm lại, với mọi x \(\in\) R ta có A>0. Do đó (1) tương đương \(x-1>0\Leftrightarrow x>1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1;\(+\infty\)) .