Em hãy giải bất phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{{2x + 1}} \le \dfrac{{x - 3}}{{2x - 3}}\) .

Ta có: \(\dfrac{{x + 1}}{{2x + 1}} \le \dfrac{{x - 3}}{{2x - 3}}\)

Điều kiện: \(x \ne  - \dfrac{1}{2};x \ne \dfrac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{2x + 1}} - \dfrac{{x - 3}}{{2x - 3}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 3 - \left( {2{x^2} - 5x - 3} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)}} \le 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\ - \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x <  - \dfrac{1}{2}\\x > \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x < \dfrac{3}{2}\\x <  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right)\)

Chú ý:

Các em có thể lập bảng xét dấu của biểu thức \(\dfrac{{4x}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\) để suy ra tập nghiệm của bất phương trình.