Đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABF có phương trình \((x-\frac{9}{4})^2+(y-\frac{1}{4})^2=\frac{225}{8}\)

Ta có \(\left\{\begin{matrix} A\in d\\ A\in (T) \end{matrix}\right.\Rightarrow\) tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ pt \(\left\{\begin{matrix} \left ( x-\frac{9}{4} \right )^2+\left ( y-\frac{1}{4} \right )^2=\frac{225}{8}\\ 3x+11y-2=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2-11y}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ \left ( \frac{2-11y}{3}-\frac{9}{4} \right )^2+\left ( y-\frac{1}{4} \right )^2=\frac{225}{8} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2-11y}{3}\\ \\ \left ( -\frac{11y}{3}-\frac{19}{12} \right )^2+\left ( y-\frac{1}{4} \right )^2=\frac{225}{8} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2-11y}{3}\\ \\ 13y^2+10y-23=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{2-11y}{3}\\ \\ \bigg \lbrack\begin{matrix} y=1\\ y=-\frac{23}{13} \end{matrix} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{93}{13}\\ y=-\frac{23}{13} \end{matrix}\right. \end{matrix}\Rightarrow\) A(-3;1) (Vì x_A < 0)
Gọi điểm E thuộc tia đối của tia BA sao cho \(AF\perp CE\)
Đặt \(BE=xAB\Rightarrow \overline{BE}=x\overline{AB}\), ta có
\(\overline{CE}=\overline{BE}-\overline{BC}=x\overline{AB}-\overline{AD}\) và \(\overline{AF}=\overline{AB}-\overline{BF}=\overline{AB}+\frac{3}{4}\overline{AD}\)
Vì AF \(\perp\) CE do đó \(\overline{CE}\perp \overline{AF}=0\Leftrightarrow (x\overline{AB}-\overline{AD})(\overline{AB}+\frac{3}{4}\overline{AD})=0\)
\(\Leftrightarrow xAB^2-\frac{3}{4}AD^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)
Vậy E thuộc tia đối của tia BA thỏa mãn \(BE=\frac{1}{3}AB\) khi đó AF \(\perp\) CE
Xét tam giác ACE có \(\left\{\begin{matrix} AF\perp CE\\ CB\perp AE \end{matrix}\right.\Rightarrow\) F là trực tâm tam giác ACE hay  EF \(\perp\) AC
Gọi \(H=EF\cap AC\Rightarrow\) tứ giác ABFH nội tiếp hay \(H\in (T):\left ( x-\frac{9}{4} \right )^2+\left ( y-\frac{1}{4} \right )^2=\frac{225}{8}\) do đó H là giao điểm (khác A) của đường thẳng d và đường tròn (T) \(\Rightarrow H\left ( \frac{93}{13};-\frac{23}{13} \right )\)
Qua B kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại K \(\Rightarrow BK//HE\), khi đó ta có
\(\left\{\begin{matrix} \frac{AK}{KH}=\frac{AB}{BE}=3\\ \\ \frac{KH}{HC}=\frac{BF}{FC}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow AH=12HC\Rightarrow \overline{AH}=12\overline{HC}\)
Gọi C(a;b) \(\Rightarrow \overline{HC}\left ( a-\frac{93}{13} ;b+\frac{23}{13}\right );\overline{AH}\left ( \frac{132}{13};-\frac{36}{13} \right )\)
Do đó \(\overline{AH}=12\overline{HC}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{132}{13}=12(a-\frac{93}{13})\\ \\ -\frac{36}{13}=12(b+\frac{23}{13}) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=8\\ b=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(8;-2)\)
Vậy C(8;-2)