Đường thẳng đi qua K vuông góc với BC cắt BC tại E và cắt AB tại N(-1;3)

 Tứ giác ABKE nội tiếp \(\Rightarrow AKB=AEB=45^0\)
\(\Rightarrow \Delta AKB\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AKB=45^0\)
* Đường thẳng BK có vtpt \(\vec{n_1}=(3;1)\)
gọi \(\vec{n_2}=(a;b)\) là vtpt của đt AB và \(\phi\) là góc giữa BK và AB
Ta có \(cos \phi =\frac{\left | \vec{n_1}.\vec{n_2} \right |}{\left | \vec{n_1} \right |.\left | \vec{n_2} \right |} \frac{\left | 3a+b \right |}{\sqrt{10}.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow \left | 3a+b \right |=\sqrt{5}.\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow 4a^2+6ab-4b^2=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} b=2a\\ a=-2b \end{matrix}\)
+ Với \(a=-2b,\) chọn \(\vec{n_2}=(-2;1)\Rightarrow AB: -2x+y-5=0\Rightarrow B(2;9)\) loại
+ Với \(b=2a\), chọn \(\vec{n_2}=(1;2)\Rightarrow AB:x+y-5=0\Rightarrow B(5;0)\) (TM)
Tam giác BKN có BE và KA là đường cao \(\Rightarrow\) C là trực tâm của BKN
\(\Rightarrow CN\perp BK \Rightarrow CN:x-3y+10=0.\Delta ABK\) và \(\Delta KCM\) vuông cân
\(\Rightarrow KM=\frac{1}{\sqrt{2}}CK=\frac{1}{2\sqrt{2}}AC=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2 }}BK=\frac{BK}{4}\Rightarrow \overrightarrow{BK}=4\overrightarrow{KM}\)
\(M=MN\cap BK\Rightarrow M\left ( \frac{7}{2};\frac{9}{2} \right )\Rightarrow K(3;6)\)
Đường thẳng AC qua K vuông góc AB \(\Rightarrow AC: 2x-y=0\)
\(A=AC\cap AB\Rightarrow A(1;2)\), C là trung điểm của AK \(\Rightarrow\) C(2;4).
Vậy: A(1;2), B(5;0), C(2;4).