Cm A=(|x_1|+1)(|x_2|+1) < = 2+căn 5 biết x_1, x_2 là nghiệm pt x^2+ax+b=0

Lời giải:

Áp dụng định lý Viete, ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-a\\ x_1x_2=b\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(A=(|x_1|+1)(|x_2|+1)=|x_1x_2|+|x_1|+|x_2|+1\)

Nếu \(x_1;x_2\) trái dấu, giả sử \(x_1\geq 0; x_2\leq 0\)

\(\Rightarrow A=|b|+x_1-x_2+1\)

Ta có: \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4b\)

Vì \(-1\leq a, b\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 1\\ 4b\geq -4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-4b\leq 5\)

\(\Rightarrow x_1-x_2\leq |x_1-x_2|\leq \sqrt{5}\) (1)

Mặt khác, \(-1\leq b\leq 1\rightarrow |b|\leq 1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow A\leq 1+\sqrt{5}+1=2+\sqrt{5}\) (đpcm)

Nếu \(x_1,x_2\) cùng dấu thì \(b\geq 0\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((|x_1|+|x_2|)^2\leq (x_1^2+x_2^2)(1+1)=2[(x_1+x_2)^2-2b]=2(a^2-2b)\)

\(\Rightarrow |x_1|+|x_2|\leq \sqrt{2(a^2-2b)}\)

Vì \(\left\{\begin{matrix} -1\leq a\leq 1\rightarrow a^2\leq 1\\ b\geq 0\rightarrow 2b\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\rightarrow |x_1|+|x_2|\leq \sqrt{2}<\sqrt{5}\Rightarrow A< 2+\sqrt{5}\)

Từ hai th ta có đpcm