Chứng minh vtMA=1/6vtAC-5/6vtAB biết M là trung điểm của BC

Lời giải:

Ta luôn có \(B,G,M,H\) thẳng hàng.

Vì $H$ đối xứng với $B$ qua $G$ nên $BG=GH$; mà theo tính chất trọng tâm tam giác thì \(GM=\frac{1}{2}BG\) \(\Rightarrow GM=\frac{1}{2}GH\). Do đó $M$ là trung điểm của $GH$

\(\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\overrightarrow{GM}\) (1)

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\\ \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})\)

Mà \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=0\) do $M$ là trung điểm $AC$

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow {GB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)

Mà \(MG=\frac{1}{2}BG\) (cmt) do đó \(\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow {GM}=-4\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)

\(\Leftrightarrow 6\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{GM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) (2)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)