Chứng minh tam giác ABC cân tại A biết A( 4;6 ), B( 1;4 ), C( 7; 3/2 ).

a/ Ta có: \(\overrightarrow{BA}\) (3;2)

\(\overrightarrow{CA}\) (-3;\(\dfrac{9}{2}\))

Ta thấy, \(\overrightarrow{BA}\) . \(\overrightarrow{CA}\) = 3.(-3)+2.\(\dfrac{9}{2}\)=0

=> BA \(\perp\)CA hay \(\Delta ABC\) vuông tại A

b/ AB=\(\sqrt{13}\)

Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền đó nên CM=\(\dfrac{1}{2}AB\)

=> CM=\(\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)

c./ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

\(\begin{cases} x(G)=\dfrac {4+1+7}{3}\\ y(G)=\dfrac{6+4+\dfrac{3}{2}}{3} \end{cases}\) <=> \(\begin{cases} x(G)=4\\ y(G)=\dfrac{23}{6} \end{cases}\)

=> Tọa độ trọng tâm của \(\Delta ABC\) là G(4;\(\dfrac{23}{6}\))

d/ Ta có : AB= \(\sqrt{13}\)

AC=\(\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\)

BC=\(\dfrac{13}{2}\)

Chu vi \(\Delta ABC\) là:

AB+AC+BC= \(\dfrac{13+5\sqrt{13}}{2}\)

Gọi H(x;y) là chân đường cao hạ từ A (hay H là hình chiếu của A lên BC)

<=>\(\begin{cases} AH\perp BC\\ B,H,C thẳng hàng \end{cases} \) <=> \(\begin{cases} \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH} cùng phương \overrightarrow{BC} \end{cases}\)

<=> \(\begin{cases} 6x-\dfrac{-5}{2}y=9\\ \dfrac{-5}{2}x-6y=\dfrac{-53}{2} \end{cases}\)

<=>\(\begin{cases} x=\dfrac{37}{13}\\ y=\dfrac{42}{13} \end{cases}\)

=> AH=3

Diện tích \(\Delta ABC\) là:

S=\(\dfrac{1}{2}\).AH.BC= \(\dfrac{1}{2}\). 3. \(\dfrac{13}{2}\)=\(\dfrac{39}{4}\)

e. Gọi D(x;y)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}\) ( -3;-2)

\(\overrightarrow{DC}\) (7-x;\(\dfrac{3}{2}\)-y)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) =\(\overrightarrow{DC}\)

\(\begin{cases} 7-x=-3\\ \dfrac{3}{2}-y=-2 \end{cases}\) <=> \(\begin{cases} x=10\\ y=\dfrac{7}{2} \end{cases}\)

Vậy D(10;\(\dfrac{7}{2}\))