Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức: \({d^2} = {R^2} - 2Rr\). ( Hệ thức Ơ-le)

Xét tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O ; R)\) và ngoại tiếp đường tròn \((I ; r)\).

Gọi \(D, E\) lần lượt là điểm chính giữa cung \(\stackrel\frown {BC}\) và cung \(\stackrel\frown {AC}\) thì \(OD \bot BC ,  \widehat {BAD} = \dfrac{{\widehat A}}{2}\).

Mặt khác , ta có

\(\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {BD}\) +sđ \(\stackrel\frown {AE}\)) \)

\(= \dfrac{1}{2}\)(sđ \(\stackrel\frown {DC}\) + sđ \(\stackrel\frown {EC}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {DCE}\) ).

Vậy \(\widehat {BID} = \widehat {IBD}\), suy ra \(ID = BD = 2R\sin \dfrac{A}{2}\).

Trong tam giác OID ta có \(O{I^2} = I{D^2} + O{D^2} - 2\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {DO} \).\( \Rightarrow   O{I^2} = 4R{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + {R^2} - 2\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH} \)    (với \(IH \bot OD\)).

Dễ thấy

\(\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH}  = DO.(DJ + JH)\)

\(= R\left( {BD\sin \dfrac{A}{2} + r} \right) \)

\(= R\left( {2R{{\sin }^2}\dfrac{A}{2} + r} \right)\)

\(= 2{R^2}{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + Rr\).

Từ đó suy ra \({d^2} = {R^2} - Rr\).