Chứng minh căn(a/(b+c)+căn(b/a+c)+căn(c/a+b) > 2

Áp dụng bđt Cô si với 2 số dương là: \(\sqrt{\frac{b+c}{a}}\) và 1 ta có:

\(\left(\frac{b+c}{a}+1\right):2\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a+b+c}{2a}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}\)

hay \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)

Tương tự như trên ta cũng có:

\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right)\)

\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right)\)

Từ (1); (2) và (3) \(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\sqrt{\frac{b+c}{a}}=1\\\sqrt{\frac{a+c}{b}}=1\\\sqrt{\frac{a+b}{c}}=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{b+c}{a}=1\\\frac{a+c}{b}=1\\\frac{a+b}{c}=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}b+c=a\\a+c=b\\a+b=c\end{cases}\)

\(\Rightarrow2.\left(a+b+c\right)=a+b+c\)\(\Rightarrow a+b+c=0\), mâu thuẫn với đề bài a; b; c là các số dương

Như vậy dấu "=" không xảy ra

Do đó, \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(đpcm\right)\)