OPTADS360
ATNETWORK
ADS_ZUNIA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh abc.(a+b+c)>=2(ab+bc+ac)

Cho các số dương ạ,b, b thoả mãn

a^2+b^2+c^2 +2=(abc)^2

Cmr abc.( a+b+c )>=2(ab +bc + ac)

  bởi Phạm Phú Lộc Nữ 28/09/2018
ADMICRO/lession_isads=0

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Đặt \(\left(\frac{1}{ab},\frac{1}{bc},\frac{1}{ac}\right)\mapsto (x,y,z)\). ĐK chuyển thành \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)

    Ta cần CM \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\Leftrightarrow x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)\) $(1)$

    Vì \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\) nên tồn tại $m,n,p>0$ sao cho \(x=\frac{m}{\sqrt{(m+n)(m+p)}};y=\frac{n}{\sqrt{(n+p)(n+m)}};z=\frac{p}{\sqrt{(m+p)(n+p)}}\)

    Khi đó \((1)\Leftrightarrow m\sqrt{n+p}+n\sqrt{m+p}+p\sqrt{m+n}\geq \frac{2mn}{\sqrt{m+n}}+\frac{2np}{\sqrt{n+p}}+\frac{2mp}{\sqrt{m+p}}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{m(p-n)}{\sqrt{m+n}}+\frac{n(p-m)}{\sqrt{m+n}}+\frac{n(m-p)}{\sqrt{n+p}}+\frac{p(m-n)}{\sqrt{n+p}}+\frac{m(n-p)}{\sqrt{m+p}}+\frac{p(n-m)}{\sqrt{m+p}}\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow \sum \frac{m(p-n)^2}{\sqrt{(m+n)(m+p)}(\sqrt{m+n})+\sqrt{m+p})}\geq 0\) (luôn đúng)

    Do đó $(1)$ đúng, suy ra ta có đpcm

    Dấu $=$ xảy ra khi $m=n=p$ hay $x=y=z=\frac{1}{2}$ hay $a=b=c=\sqrt{2}$

     

      bởi Phùng Dung 28/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10