Chứng minh a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+căn(2abc/((a+b)(b+c)(c+a)))>=2

Hình như bạn bị lỗi một chút. Để phải là: CM

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 2\)

Giải như sau:

Đặt \(\left ( \frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b} \right )=(x,y,z)\). Khi đó, ta thu được điều kiện sau:

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz+2xyz=1\)

Bài toán chuyển về CM \(x+y+z+\sqrt{2xyz}\geq 2\)\(\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\) \((\star)\)

Từ điều kiện $(1)$ , áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\left [ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1} \right ][x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)]\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)\) $(1)$

Ta sẽ chứng minh \(2(xy+yz+xz)+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\)$(2)$

Thật vậy:

Theo Am-Gm: \(1=xy+yz+xz+2xyz\leq xy+yz+xz+2\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^3}{27}}\)

Đặt \(\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}}=t\). Ta có

\(1\leq 3t^2+2t^3\Leftrightarrow (t+1)^2(2t-1)\geq 0\Rightarrow t\geq\frac{1}{2}\)

Khi đó \((1)\Leftrightarrow 6t^2+\sqrt{1-3t^2}\geq 2\Leftrightarrow (2t-1)(2t+1)(3t^2-1)\leq0\)

Điều này luôn đúng do \(t\geq \frac{1}{2}\) và \(1>xy+yz+xz=3t^2\)

Do đó $(1)$ được CM.

Từ \((1),(2)\Rightarrow (\star)\) đúng, bài toán được hoàn thành.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$, hay $a=b=c$