OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh a/b^2+b/c^2+c/a^2>=1/a+1/b+1/c

Cho a,b,c là số dương. CMR

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

  bởi Việt Long 05/11/2018
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy

    \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{b}\)

    Tương tự: \(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{c}\)

    \(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}\)

    Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn, ta có:

    \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)(đpcm)

    Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

    Cách 2: Áp dụng BĐT Bunyakovsky

    \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{c}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{a}.\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\le\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

    \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\ge\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\)(đpcm)

    Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

      bởi Phan Hoàng Ngọc Châu 05/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10