OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh (a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(a+c) < =3(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{a+c}\le\dfrac{3.\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

  bởi Nguyễn Vũ Khúc 22/10/2018
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \(BĐT\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\right]\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\right)\le6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

    Giả sử \(a\ge b\ge c\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\) (**)

    Và \(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\ge\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\)(*)

    Ta sẽ chứng minh (*) : \(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\Leftrightarrow ab\left(b-a\right)+ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left[bc+a\left(b+c-a\right)\right]\ge0\)( đúng khi a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác )

    Tương tự :\(\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\ge\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\)

    Từ (**) và (*) , Áp dụng BĐT chebyshev:( 2 dãy cùng chiều)

    \(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)=6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(đpcm)

    Dấu = xảy ra khi a=b=c

      bởi Quãng Quãng 22/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10