Chứng minh 3vt DG= vt DA+ vt DB+ vt DC

Lời giải:

a) Vì $O$ là trung điểm $AC$, $I$ là trung điểm $BC$ nên $OI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow IO\parallel AB; IO=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Do đó: \(2\overrightarrow{AI}-2\overrightarrow{AO}=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AO})=2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{AB}\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}\) (đpcm)

b) Do $ABCD$ là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DB}=4\overrightarrow{DO}\) (1)

Lại có:

\(\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OG}\)

Vì $G$ là trọng tâm $ABC$ nên \(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DO}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DO}=\frac{4}{3}\overrightarrow{DO}\)

\(\Rightarrow 3\overrightarrow{DG}=4\overrightarrow{DO}\) (2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow 3\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\)(đpcm)