OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Chứng minh 2/(x^2+2y^2+3) < = 1/(xy+y+1)

a, Cho hai số dương x,y . Cmr \(\dfrac{2}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{xy+y+1}\)

b, Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm giá trị lớn ngất của biểu thức

Q=\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2 +2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)

  bởi Anh Trần 06/11/2018
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+2y^2+1\ge2xy+2y\)

    \(\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)

    \(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(xy+y+1\right)}\Leftrightarrow\dfrac{2}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{xy+y+1}\)

    b)Áp dụng bổ đề trên ta có:

    \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

    \(\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(bc+b+1\right)};\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(ac+c+1\right)}\)

    Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

    \(Q\le\dfrac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(bc+b+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(ac+c+1\right)}\)

    \(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ac+c+1}\right)\)

    \(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{ac+c+1}+\dfrac{ac}{ac+c+1}+\dfrac{1}{ac+c+1}\right)\left(abc=1\right)\)

    \(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac+c+1}{ac+c+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)

    Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

      bởi nguyễn thị thu 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10